Há uns anos atrás, quando aprendi as dízimas infinitas periódicas e me disseram que são números racionais, comecei a questionar-me:
“Humm… Existe o teorema que diz que entre dois números racionais existe sempre um número irracional! Nesse caso, entre 0.(9) e 1, que número existe? Como pode ele existir?”
A verdade é que não existe, porque eles são um só número, apenas representados de forma diferente.
Uma forma simples de constatar isto é pensar:
Se multiplicarmos por 3 dos dois “lados”…
Como vêm, trata-se do mesmo número, mas “disfarçado”.
É possível demonstrar de uma forma mais elegante, usando a soma de uma série infinita (tal como proposto nos comentários).
Nesta demonstração usei o seguinte facto (progressão geométrica):
Isto é muito fácil de demonstrar. Primeiro deixem-me explicitar o que significa o somatório (a letra gregra sigma maiúscula):
Notem que se o módulo de r não for inferior a 1, esta soma dá infinito. Pode-se seguidamente fazer o seguinte “truque”:
Logo:
Portanto:
E finalmente:
O “truque” em causa permite-vos demonstrar muitos resultados de somas de séries.
Marinho Lopes (colaborador do Ciência com Todos e doutorando em Física) - texto primeiramente publicado no Blog do autor: Sophia of Nature.
Ver original em: http://sophiaofnature.wordpress.com/2011/05/11/0-991/
