Penso que a questão já foi respondida pelo Eduardo Martinho e Carlos Corrêa; no entanto gostaria de contribuir com 2 comentários. Vou repetir o que já foi dito, mas apenas para completar o meu raciocínio.

1) Como mencionado, quando nos referimos aos quadrados da hipotenusa e dos catetos, pensamos imediatamente a potências elevadas ao quadrado, isto é: h^2=a^2+b^2.
No entanto, esta fórmula pode ser representada geometricamente; sendo a hipotenusa e os 2 catetos, lados de 3 quadrados. Assim, achando a área dos dois quadrados com lados nos catetos e somando-os, achamos a área do quadrado que tem lado na hipotenusa. Ou seja, bate certo até aqui, o que me leva ao segundo ponto.

2) Pegando no desafio da Liliana, vamos pensar nos quadrados dos hexágonos. Como também já mencionado nas respostas anteriores, a área de 1 hexágono regular pode ser achada se tivermos em conta que este pode ser decomposto em 6 triângulos (demonstrado em: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/area-hexagono-regular.htm)

Vamos então imaginar 1 triângulo rectângulo com um cateto (a) de 2cm e outro (b) de 3cm. Qual o valor da hipotenusa?
Calculando a área de (a):
A(a)=(3*2^2*√3)/2
A(a)=(12√3)/2
Calculando a área de (b):
A(b)=(3*3^2*√3)/2
A(b)=(27√3)/2
Somando a área de (a) e de (b), obteremos a área do hexágono com lado na hipotenusa (Ah):
A(h)=A(a)+A(b)
A(h)=(39√3)/2
A(h)=33,77
Mas nós não queremos saber a A(h), mas sim o valor de h. Para isso, recorremos à formula inicial e substituimos os valores de modo a obter a equação em ordem a h:
A(h)=(3*h^2*√3)/2
(33,77*2)/(3*√3)=h^2
h=3,6cm
Ou seja, para um triângulo rectângulo com catetos de valores 2cm e 3cm, a hipotenusa terá valor 3,6cm de acordo com o cálculo dos hexágonos.

Agora vamos confirmar este valor com base no cálculo habitual do teorema de pitágoras:
h^2=2^2+3^2
h=√13
h=3,6
Deste modo, a hipotenusa também mede 3,6cm.
Como queria demonstrar.

Conclusão: De maneiras diferentes conseguimos obter os mesmos valores, podendo concluir que o seu namorado estava correcto.