Olá Joãozinho.

Boa pergunta. Eu sempre me fiz essas perguntas quando também tinha sua idade, o que me levou a ler os livros "Breve história do tempo" e "Buracos negros e universos bebés" do Stephen Hawking.

Vou tentar falar nisso de um forma muito simplificada, mas, se você gosta muito desse tema, aconselho a dar uma olhada neste livros. ;]

Em primeiro lugar, devemos ter em conta que o tempo é uma invenção nossa, dos seres humanos, e que não é uma coisa absoluta, ou seja, o tempo é relativo. Ser relativo significa que temos que ter pontos de referência para o conseguirmos medir. Então, o tempo não anda mais devagar à velocidade da luz, a sua medição apenas se distorce quando medidos entre observadores diferentes. Ou seja, quando você diz que o tempo anda mais devagar, tem que se perguntar: "Mais devagar, em relação a que?"
Voltando ao passado, tanto Aristóteles como Newton acreditavam no tempo absoluto. Ou seja, acreditavam que se podia medir sem ambiguidade o intervalo de tempo entre dois acontecimentos, e que esse tempo seria o mesmo para quem quer que o medisse. O tempo era completamente separado e independente do espaço. Embora estas noções funcionem perfeitamente quando lidamos com coisas como maçãs ou planetas, que se movem relativamente devagar, já não funcionam à velocidade da luz ou perto dela.
Por exemplo, suponha que você caminha à 10 Km/h em direção a um comboio que anda à 100 Km/h. Qual é a velocidade relativa entre os dois? Resposta: 110 Km/h, mas suas velocidades relativas à Terra continuam a ser de 10 e 100 Km/h, respectivamente.

Agora, poderia-se pensar que o mesmo aconteceria em relação a velocidade da luz, não é mesmo? Então, se medirmos a velocidade da luz quando a Terra caminha na sua elípse em direção a luz do Sol, a velocidade medida deveria ser maior do que a velocidade da luz medida na Terra quando esta se afasta do Sol. Pois é, mas na verdade, pasme-se, a velocidade é exatamente a mesma!! Foi então que, em 1905, Albert Einstein, tentando explicar os resultados dessa experiência, diz que seria necessário abandonar a ideia do tempo absoluto. Surge então a teoria de Maxwell, que diz que todos os observadores deveriam medir a mesma velocidade da luz, independentemente da velocidade do seu movimento. Agora, a conclusão final deste pensamento é: na teoria de Newton, se um impulso de luz for enviado de um local para o outro, diferentes observadores estarão de acordo quanto ao tempo que essa viagem demorou (uma vez que o tempo é absoluto), mas não quanto à distância que a luz percorreu (uma vez que o espaço não é absoluto). Como a velocidade da luz é exatamente o quociente da distância percorrida pelo tempo gasto (v = d/t), diferentes observadores mediriam diferentes velocidades para a luz. Em relatividade, por outro lado, todos os observadores têm que concordar quanto à velocidade da luz. Continuam ainda, no entanto, a não concordar quanto à distância que a luz percorreu, pelo que têm também de discordar quanto ao tempo que demorou. Como o tempo gasto é a distância (que os observadores não concordam) sobre a velocidade da luz (que é a mesma), o tempo não é o mesmo para os observadores!!

A física teórica não é uma maravilha? :]